Kártyatrükk

A Nagy Mágus tíz, 1-től 10-ig sorban számozott kártyalapot szétosztott három dobozba: egy pirosba, egy fehérbe és egy zöldbe. Valamennyi kártya a dobozokba került, és mindegyik dobozba tett legalább egy lapot. Ha kiveszünk két dobozból egy-egy kártyát, és megmondjuk neki, hogy mennyi a rajtuk álló két szám összege, akkor a Mágus látatlanban meg tudja mondani, hogy melyik dobozokból vettük ki a lapokat. Mi lehet a trükkje?
(A bemutatón az összeg 6 volt, és a Mágus eltalálta, hogy a piros és a fehér dobozokból húztak ki egy-egy lapot.)

1. trükk:
piros doboz: 1,
zöld doboz: 10,
fehér doboz: a többi.

2. trükk:
piros doboz: 1, 4, 7, 10,
fehér doboz: 2, 5, 8,
zöld doboz: 3, 6, 9.

A számkártyákat úgy kell szétosztani a dobozokba, hogy minden egyes összeget – a lehetőség 3-tól 19-ig terjed – csak ugyanabból a két dobozból kivett kártyák szolgáltassák.

1. trükk
– Ha az összeg 11-nél kisebb (3 és 10 közötti szám), akkor a zöld dobozból nem húzhattak lapot, tehát a piros és a fehér volt a húzásra kiválasztott két doboz.
– Ha a zöld és a fehér dobozokból húzunk, az összeg mindig több lesz 11-nél.
– A piros és a fehér dobozokba tett két lap a 11-t adja összegül.
A dobozok párosítása elkülönülő összegértékeket ad ([3, 10], [11], [12, 19]), amelyek így egyértelműen jellemzők rájuk.

2. trükk
Arra is alapozhatjuk a következtetést, hogy a számokat a három többszöröseihez viszonyítva három csoportba sorolhatjuk.
(0) Egy egész szám vagy három többszöröse (3k alakú),
(1) vagy eggyel nagyobb egy három többszörösnél (3n+1 alakú),
(2) vagy kettővel nagyobb egy három többszörösnél (3m+2 alakú),
Ha e három típust rakjuk a három dobozba, akkor kettőből kiválasztott egy-egy szám összege mindig meghatározott típusba tartozó számot ad összegül, mégpedig
(0) és (1) típusú összege (1) típusú,
(0) és (2) típusú összege (2) típusú,
(1) és (2) típusú összege (0) típusú.
Mivel az összegek típusa különböző, egyértelműen tudunk visszakövetkeztetni belőle a két tag típusára.

Megjegyzések
1. Nagyon fontos a mutatványban az, hogy két dobozból kell húzni egy-egy lapot. Ha a két lapot ugyanabból a dobozból is húzhatják, akkor a trükkök nem működnek, az összegeket nem tudjuk elkülönülő (diszjunkt) halmazokba sorolni.
2. A második trükk a számoknak a 3-mal való osztásra vonatkoztatott úgynevezett maradékosztályokba sorolásán alapult. Egy maradékosztály azoknak az egész számoknak a halmaza, amelyek hárommal osztva ugyanazt a maradékot adják.
A 0-ás maradékosztályba a 3-mal osztható számok tartoznak,
az 1-es maradékosztályba a 3-mal osztva 1 maradékot adó számok,
a 2-es maradékosztályba pedig a 3-mal osztva 2 maradékot adó számok tartoznak. Azaz:
a 0-ás maradékosztály: 0, 3, 6, 9, ...
az 1-es maradékosztály: 1, 4, 7, 10, ...
a 2-es maradékosztály: 2, 5, 8, 11, ...
Ha két számot összeadunk, akkor a maradékosztályaik is összeadódnak. A maradékosztályok összeadási szabálya:
0+1=1, 0+2=2, 1+2=0.
Például egy 1-es és egy 2-es maradékosztályba tartozó szám összege a 0-ás maradékosztályba tartozik, azaz három többszöröse:
(3n+1)+(3m+2)=
=3n+3m+1+2=
=3(n+m)+3=3(n+m+1).
3. A bemutatón az összeg 6 volt.
Ha a Mágus a kártyák szétrakásakor az 1. trükkjét alkalmazta, akkor tudhatta, hogy mivel a zöld dobozból nem húzhatták a 10-est, csak az 1-es és 5-ös lapokról lehet szó.
Ha viszont a Mágus a 2. trükköt alkalmazta, akkor az derült ki számára, hogy vagy az 1+5 vagy a 2+4 öszszegről van szó. Most azt nem tudhatja pontosan, hogy melyik kártyákat húzták, azt azonban igen, hogy mindkét esetben a piros és a fehér dobozba nyúltak bele.
4. Bizonyítható, hogy a dobozok egymás közötti cseréjétől eltekintve másféle trükk, más „jó” kártyaelhelyezés nem lehetséges. Ilyen általánosabb formában tűzték ki ezt a feladatot a legutóbbi Nemzetközi Matematikai Diákolimpián. Az érdeklődőknek erről majd részletesebben ír a Diákoldalon a rejtvény kitalálója, Dobos Sándor tanár úr.